07 Haziran 2007

Fraktal Geometri

Fraktal geometriyle ilk tanışmam bundan 5 yıl kadar önce bir arkadaşımın bilgisayarla yaptığını iddia ettiği bir resmi başka bir arkadaşıma doğum günü hediyesi olarak vermesiyle oldu. Klasik anlamda resim diyemeyeceğim bu görüntü, başı ve sonu –belli- olmayan ve birbiri içinde tekrarlanan geometrik diyebileceğimiz, demeyedebileceğimiz bir motifin birbiri içinde tekrarlanan canlı renklerle süslenmiş haliydi. Daha sonra başka eserlerini de gördüğüm arkadaşım ilk kez duymama daha birkaç yıl olan fraktal ya da mandelbrot kelimelerini tek bir kez bile cümle içinde kullanmadan, ‘bilgisayar programı var, yapıyorum işte’ diyerek hayretimi izledi.



Hala hayatta olan ve resimde görülen, zamanında ne matematikçilere ne fizikçilere yaranabilmiş Benoit Mandelbrot amcanın ikibin yıllık koca Öklid geometrisini tahtından ettiği buluşunu tanımlamak için oğlunun Latince sözlüğünü karıştırırken rastladığı fractus sıfatından ilham alarak uydurduğu fractal kelimesi ve bu isimle tanımladığı geometriyle tanışmama daha birkaç yıl vardı. Mandelbrot bunu yaptığında takvimler 1975’i gösteriyordu, kendisinin fraktal geometriye dair yayımladığı “İngiltere sahillerinin uzunluğu nedir?” başlıklı ünlü makalesinin yayımlanmasının üzerinden 8 yıl geçmişti.

Cevabı başlığı kadar ilginç olan bu makale, daha sonra fraktal geometrinin doğadaki başka tezahürlerine yoğunlaşacak başka matematikçiler için bir öncü niteliği taşıyordu. Özetle, Mandelbrot; ‘Bulacağınız uzunluk pergelinizin uzunluğuna göre değişir. Eğer bir metre açıklığında bir pergelle ölçüyorsanız bir metrenin altındaki kıvrımlar ölçülmemiş olacaktır, eğer bir karışlık bir pergelle ölçüyorsanız bir karışın altındaki kıvrımlar yuvarlanmış olacaktır. Ölçümünüzü ne kadar hassaslaştırırsanız bulduğunuz sonuç o kadar büyük olacaktır ve bunun sonu her bir kum tanesini ard arda ölçmeye kadar gidecektir.’ diyordu.



İngiltere ya da Türkiye sahilinin ne kadar uzun olduğu gibi bir merakım olmadı. En meraklı zamanlarımda bile evdeki televizyonun içinde gerçek adamlar olmadığının farkındaydım. Ancak bu her kıvrımında kendi minik örneklerini sakladığını gördüğümüz ünlü Mandelbrot serisinin z kare + c gibi gayet basit bir fonksiyondan oluştuğunu öğrendiğimde şaşırdım. Gördüğüm kadarıyla tek püf noktası z’nin sıfırdan başlayan herhangi bir sayı, c’nin de test edilen noktaya tekabül eden karmaşık bir sayı olması. Hepimizin anlayabileceği bir dille ifade etmek gerekirse sıfırdan itibaren bir sayı alıyoruz, kendisiyle çarpıp sonucu aldığımız ilk sayıya ekliyoruz. Sonra bu sayının karesini alıp ilk sayıya ekliyoruz ve istediğimiz kere tekrarladığımız bu fonksiyonun dinamik karşılığı yukarıdaki resimlerin ilki oluyor.

Araştırınca gördüm ki fraktal geometri, ortaya çıkışı, daha doğrusu bu açıklıkla tanımlanışı ve bir türlü kabul göremeyişi matematiğin bilgisayarların gelişmesini beklediği yüz yıllık uzun ve sıkıcı dönemin bitmesini beklemiş. İlk örnekleri birinci dünya savaşı sırasında Gaston Julia ve Pierre Fatou’nun inceledikleri ve literatüre Julia seti olarak geçen denklemlerle genç Mandelbrot karşılaşmıştı ve kendi başarısının sırrı olan sezgileriyle bunların Öklityen kavramlarla açıklanamayacağını anlamıştı. Kendisi şanslıydı, hem dünyaya daha uygun bir zamanda gelmiş hem de IBM gibi bir firmada, zamanın en ileri –ileri dediysek günümüzdekilerin atalarından bahsediyoruz- bilgisayarları elinin altında çalışmaktaydı, üstelik hafif çatlak ve bolca megaloman bir bilim adamı olarak sonradan pek ünlü olacaktı.



Burada özetlemekte zorlandığım bilgilerin ışığında söyleyebilirim ki Mandelbrot’un bu hep gözümüzün önünde olan fakat bilinen tarih boyunca kimsenin formüle edemediği fraktal geometrinin başarısı bakış açısında yatmaktadır. Kendisi de sorup cevapladığı sorularda bakış açısını yani ölçeği baş değişken olarak kullanmış. Yine meşhur sorularından biri; bir yumağın boyutu nedir? Eğer uzaktan bakıyorsak bir nokta kadardır. Biraz yaklaşınca birbirinin üzerine sarılmış iplikler kadardır. Daha da yaklaşınca iplikleri oluşturan daha ince lifler kadardır. Daha da yaklaşırsak o lifleri oluşturan sıfır boyutlu noktalar kadardır. İnsanın avucunda tuttuğu bir yumağın nihayetinde sıfır boyutlu noktalar toplamı olduğuna inanası gelmiyor ancak matematiksel olarak durum bu.



Koch’un birbirini daha küçük ölçeklerde tekrarlayan üçgenlerden oluşan kartanelerinin merkezinden çizilmiş bir daireye sığmakla birlikte kenarının sonsuz uzunlukta olduğuna da ilk bakışta inanmak zor. Ancak matematiğin böyle de bir boyutu varmış işte! Her kenarı 30 santimetrelik gayet ele gelir bir boyutta bir eşkenar üçgenle başlayıp, her kenardan ortadaki on santimden yeni bir eşkenar üçgencik çıkarmak ve bunu tekrarlayarak, her seferinde bir öncekinin üçtebir boyutunda yeni üçgencikler yapmaya devam edersek bizim de Helge von Koch’un ta 1904’de tanımladığı, kenar uzunluğu sonsuz, alanı maksimum eşmerkezli bir daire kadar olan bir kar tanemiz olur. Tamamen ölçek meselesi.



Cantor tozu, Sierpinski halısı ya da Menger süngeri de aynı mantıkla oluşturulmuş daha eski örnekler. Matematiksel bakımdan incelenmeye değer olduğu gibi pratik yaşamda da benim aklımın ucundan geçmeyecek dertlere deva olmuşlukları varmış. Bir doğrudan başlayıp, üçe bölüp ortadaki üçte biri kaldırıp, sonra kalan her üçte bire aynı işlemi uygulamayı tekrar ederek ortaya çıkan noktacıklardan ibaret olan Cantor tozunu Mandelbrot, kablolardaki veri transferinde ortaya çıkan hatanın dağılımı ile ilişkilendirmişti. Aynı işlemin üç boyutlu hali olan Menger süngeri bir küpün merkezindeki küpün kesilip çıkartılması ve kalan dokuzda bir boyuttaki diğer sekiz küpe de aynı işlemin uygulanmasından oluşmaktadır. Sonsuz yüzey ve sıfır hacme sahip bu yapı Eiffel Kulesi ile inşaat teknolojisine girmiş ve bu alandaki belki de en kullanışlı çözüm olmuştur.



Yirminci yüzyılın son çeyreğinde ismine kavuşan bu matematik dalının doğada sayısız örneklerine işaret eden başka bilim adamları da oldu. Bir eğrelti otunun yapraklarının diziliminden bir şimşeğin izlediği yola, bir camdaki çatlağın çıkardığı desenden akciğerlerimizin içindeki bronşların ve damar sistemimizin yapısına kadar fraktal geometri içinden evrenin doğduğu, o ilk gaz ve toz bulutlarından beri kendi minik örneklerini içinde barındıran bir düzen olarak mevcut. Bunu idrak ettikten sonra benim için anlaması asıl zor olan şey bunu keşfetmek için neden bu zamana kadar beklediğimiz!


Kaynakça;
Kaos, Yeni Bir Bilim Teorisi, James Gleick, Tübitak Yayınları, 1995
Raslantı ve Kaos, David Ruelle, Tübitak Yayınları, 1994
Ve tabii ki Wikipedia

10 yorum:

abaküs dedi ki...

geometride idealar dünyasında uydurulan şekillerin yerine, doğadaki nesnelerin kullanıldığı yeni bir dönemi başlatmıştır. işte sadece bu yüzden bile sevebilirim bunu. :)

Pınar D. dedi ki...

Aman da tarihin derinliklerinde kalan mesajıma bir yorum gelmiş!!! Hoşgeldin Abaküs!

yorumuna bir destek çıkayım; o, bu ya da şu nedenle fraktal sevilmez mi?!!! sevmek kadar güzel, fraktal kadar sevilesi birşey daha yokken -demeyeyim de azken diyeyim- hele!!!

(hava sıcaklığı normale yaklaştı ya, kıpır kıpır, börtü böcek modundayım :)

ne diyorduk? hah, hoşgeldin, yine beklerim :D

Versus dedi ki...

merhaba ben şuan da bir film (hayalet avı) izliorum. bir japon filmi ve hayeletlerin enerji çekici olarak kullanılan menger süngeri ile görülebildiğini iddea edior bu film. ben sitenizdeki sadece menger süngeri ile ilgili olan bölümü okudum birazdan film bitince tamamını okuyacağım. peki sizce bu mümkün mü? yada doğruluk payı ne boyutta?

VERSUS dedi ki...

merhaba ben şuan da bir film (hayalet avı) izliorum. bir japon filmi ve hayeletlerin enerji çekici olarak kullanılan menger süngeri ile görülebildiğini iddia edior bu film. ben sitenizdeki sadece menger süngeri ile ilgili olan bölümü okudum, birazdan film bitince tamamını okuyacağım. peki sizce bu mümkün mü? yada doğruluk payı ne boyutta?

Pınar D. dedi ki...

merhaba Versus,
geç cevapladığım için kusura bakma, tatilden henüz döndüm...

bahsettiğin filmi bilmiyorum, filmde tam olarak neden bahsettiğini bilmiyorum, enerji çekicini ilk kez duyuyorum, o nedenle net bir cevap veremiyorum...

öğrenince sen bana anlat, olur mu?

feyyaz dedi ki...

bak pınar.versus dediği hayalet avı filmini mutlaka izlemeni tavsiye ederim.ozaman analrsın.

mustafa dedi ki...

selam.Ben hayalet avı(silk) filmini izledikten sonra menger süngerini araştırdığım zaman bu siteyle karşılaştım ve çeşitli konular hakkında bilgi sahibi oldum.Bunun için teşekkür ediyorum."Abaküs"ün de dediği gib artık doğa ve hayvanlar incelenerek yeni teknoloji ve bilim dalları olusuyor.Buna en ii örnek hayatımızda artık önemli bir yer eden "Nanoteknoloji"..Bundan sonra daha çok çevremizi araştırmamız lazım..Bazı garipliklerle karşılaşabiliriz..:)

Adsız dedi ki...

Selam Mustafa,
yorumun için teşekkür ederim...

bu hayalet avcısı filmini izlemek şart oldu artık!

Adsız dedi ki...
Bu yorum bir blog yöneticisi tarafından silindi.
Adsız dedi ki...

merhaba ben nazmi çok fazla fraktal bulamadım ama yinede teşekkürler