Fraktal Geometri

Fraktal geometriyle ilk tanışmam bundan 5 yıl kadar önce bir arkadaşımın bilgisayarla yaptığını iddia ettiği bir resmi başka bir arkadaşıma doğum günü hediyesi olarak vermesiyle oldu. Klasik anlamda resim diyemeyeceğim bu görüntü, başı ve sonu –belli- olmayan ve birbiri içinde tekrarlanan geometrik diyebileceğimiz, demeyedebileceğimiz bir motifin birbiri içinde tekrarlanan canlı renklerle süslenmiş haliydi. Daha sonra başka eserlerini de gördüğüm arkadaşım ilk kez duymama daha birkaç yıl olan fraktal ya da mandelbrot kelimelerini tek bir kez bile cümle içinde kullanmadan, ‘bilgisayar programı var, yapıyorum işte’ diyerek hayretimi izledi.



Hala hayatta olan ve resimde görülen, zamanında ne matematikçilere ne fizikçilere yaranabilmiş Benoit Mandelbrot amcanın ikibin yıllık koca Öklid geometrisini tahtından ettiği buluşunu tanımlamak için oğlunun Latince sözlüğünü karıştırırken rastladığı fractus sıfatından ilham alarak uydurduğu fractal kelimesi ve bu isimle tanımladığı geometriyle tanışmama daha birkaç yıl vardı. Mandelbrot bunu yaptığında takvimler 1975’i gösteriyordu, kendisinin fraktal geometriye dair yayımladığı “İngiltere sahillerinin uzunluğu nedir?” başlıklı ünlü makalesinin yayımlanmasının üzerinden 8 yıl geçmişti.

Cevabı başlığı kadar ilginç olan bu makale, daha sonra fraktal geometrinin doğadaki başka tezahürlerine yoğunlaşacak başka matematikçiler için bir öncü niteliği taşıyordu. Özetle, Mandelbrot; ‘Bulacağınız uzunluk pergelinizin uzunluğuna göre değişir. Eğer bir metre açıklığında bir pergelle ölçüyorsanız bir metrenin altındaki kıvrımlar ölçülmemiş olacaktır, eğer bir karışlık bir pergelle ölçüyorsanız bir karışın altındaki kıvrımlar yuvarlanmış olacaktır. Ölçümünüzü ne kadar hassaslaştırırsanız bulduğunuz sonuç o kadar büyük olacaktır ve bunun sonu her bir kum tanesini ard arda ölçmeye kadar gidecektir.’ diyordu.



İngiltere ya da Türkiye sahilinin ne kadar uzun olduğu gibi bir merakım olmadı. En meraklı zamanlarımda bile evdeki televizyonun içinde gerçek adamlar olmadığının farkındaydım. Ancak bu her kıvrımında kendi minik örneklerini sakladığını gördüğümüz ünlü Mandelbrot serisinin z kare + c gibi gayet basit bir fonksiyondan oluştuğunu öğrendiğimde şaşırdım. Gördüğüm kadarıyla tek püf noktası z’nin sıfırdan başlayan herhangi bir sayı, c’nin de test edilen noktaya tekabül eden karmaşık bir sayı olması. Hepimizin anlayabileceği bir dille ifade etmek gerekirse sıfırdan itibaren bir sayı alıyoruz, kendisiyle çarpıp sonucu aldığımız ilk sayıya ekliyoruz. Sonra bu sayının karesini alıp ilk sayıya ekliyoruz ve istediğimiz kere tekrarladığımız bu fonksiyonun dinamik karşılığı yukarıdaki resimlerin ilki oluyor.

Araştırınca gördüm ki fraktal geometri, ortaya çıkışı, daha doğrusu bu açıklıkla tanımlanışı ve bir türlü kabul göremeyişi matematiğin bilgisayarların gelişmesini beklediği yüz yıllık uzun ve sıkıcı dönemin bitmesini beklemiş. İlk örnekleri birinci dünya savaşı sırasında Gaston Julia ve Pierre Fatou’nun inceledikleri ve literatüre Julia seti olarak geçen denklemlerle genç Mandelbrot karşılaşmıştı ve kendi başarısının sırrı olan sezgileriyle bunların Öklityen kavramlarla açıklanamayacağını anlamıştı. Kendisi şanslıydı, hem dünyaya daha uygun bir zamanda gelmiş hem de IBM gibi bir firmada, zamanın en ileri –ileri dediysek günümüzdekilerin atalarından bahsediyoruz- bilgisayarları elinin altında çalışmaktaydı, üstelik hafif çatlak ve bolca megaloman bir bilim adamı olarak sonradan pek ünlü olacaktı.



Burada özetlemekte zorlandığım bilgilerin ışığında söyleyebilirim ki Mandelbrot’un bu hep gözümüzün önünde olan fakat bilinen tarih boyunca kimsenin formüle edemediği fraktal geometrinin başarısı bakış açısında yatmaktadır. Kendisi de sorup cevapladığı sorularda bakış açısını yani ölçeği baş değişken olarak kullanmış. Yine meşhur sorularından biri; bir yumağın boyutu nedir? Eğer uzaktan bakıyorsak bir nokta kadardır. Biraz yaklaşınca birbirinin üzerine sarılmış iplikler kadardır. Daha da yaklaşınca iplikleri oluşturan daha ince lifler kadardır. Daha da yaklaşırsak o lifleri oluşturan sıfır boyutlu noktalar kadardır. İnsanın avucunda tuttuğu bir yumağın nihayetinde sıfır boyutlu noktalar toplamı olduğuna inanası gelmiyor ancak matematiksel olarak durum bu.



Koch’un birbirini daha küçük ölçeklerde tekrarlayan üçgenlerden oluşan kartanelerinin merkezinden çizilmiş bir daireye sığmakla birlikte kenarının sonsuz uzunlukta olduğuna da ilk bakışta inanmak zor. Ancak matematiğin böyle de bir boyutu varmış işte! Her kenarı 30 santimetrelik gayet ele gelir bir boyutta bir eşkenar üçgenle başlayıp, her kenardan ortadaki on santimden yeni bir eşkenar üçgencik çıkarmak ve bunu tekrarlayarak, her seferinde bir öncekinin üçtebir boyutunda yeni üçgencikler yapmaya devam edersek bizim de Helge von Koch’un ta 1904’de tanımladığı, kenar uzunluğu sonsuz, alanı maksimum eşmerkezli bir daire kadar olan bir kar tanemiz olur. Tamamen ölçek meselesi.



Cantor tozu, Sierpinski halısı ya da Menger süngeri de aynı mantıkla oluşturulmuş daha eski örnekler. Matematiksel bakımdan incelenmeye değer olduğu gibi pratik yaşamda da benim aklımın ucundan geçmeyecek dertlere deva olmuşlukları varmış. Bir doğrudan başlayıp, üçe bölüp ortadaki üçte biri kaldırıp, sonra kalan her üçte bire aynı işlemi uygulamayı tekrar ederek ortaya çıkan noktacıklardan ibaret olan Cantor tozunu Mandelbrot, kablolardaki veri transferinde ortaya çıkan hatanın dağılımı ile ilişkilendirmişti. Aynı işlemin üç boyutlu hali olan Menger süngeri bir küpün merkezindeki küpün kesilip çıkartılması ve kalan dokuzda bir boyuttaki diğer sekiz küpe de aynı işlemin uygulanmasından oluşmaktadır. Sonsuz yüzey ve sıfır hacme sahip bu yapı Eiffel Kulesi ile inşaat teknolojisine girmiş ve bu alandaki belki de en kullanışlı çözüm olmuştur.



Yirminci yüzyılın son çeyreğinde ismine kavuşan bu matematik dalının doğada sayısız örneklerine işaret eden başka bilim adamları da oldu. Bir eğrelti otunun yapraklarının diziliminden bir şimşeğin izlediği yola, bir camdaki çatlağın çıkardığı desenden akciğerlerimizin içindeki bronşların ve damar sistemimizin yapısına kadar fraktal geometri içinden evrenin doğduğu, o ilk gaz ve toz bulutlarından beri kendi minik örneklerini içinde barındıran bir düzen olarak mevcut. Bunu idrak ettikten sonra benim için anlaması asıl zor olan şey bunu keşfetmek için neden bu zamana kadar beklediğimiz!


Kaynakça;
Kaos, Yeni Bir Bilim Teorisi, James Gleick, Tübitak Yayınları, 1995
Raslantı ve Kaos, David Ruelle, Tübitak Yayınları, 1994
Ve tabii ki Wikipedia

Derki, Derim ki...

Hani burada fraktal geometriden ve onun hakkında yaptığım şeyden bahsetmiştim ya! İşte derki'nin 20. sayısı ile bahsettiğim pek birşey sayılmayacak yazım da netteki yerini aldı. Haber vereyim dedim :) Burada da derkinin yine dopdolu ve bir marta kadar başbaşa olduğumuz 20. sayısı, afiyet bal şeker olsun...

Arkadaşımın Aşkısın Fraktal Sanat

Geçtiğimiz yıl blogla ilgili yapmak istediğim şeylerden biriydi fraktal geometri ya da fraktal sanat hakkında bir şeyler çiziktirmek. Hatta bir şeylerden daha çok şey çiziktirmiş olmak, kullandığım programı tamamen çözmüş, birbirinden güzel resimler yapmış ve hatta adım adım nasıl yaptığımı gösteren bir manuel yazmış olmak… Geçmiş zamandan fayda yok. Sanırım bu konu hakkında yapabileceğim en çok şeyi yılın son gününde yaptım ve fraktal geometriden bahsettiğim bir yazı yazıp derki’nin yeni sayısı için gönderdim. Ve tabii ki bunu derki için yaptığımdan burada ikinci baskı yapamıyorum ve pek özenerek yazdığım yazı için yeni sayının çıkmasını beklemekten başka bir şey öneremiyorum…



Ancak bu durum başta bağlantıları paylaşmak olmak üzere bu konuda derkide yapamadığım şeyleri burada yapmamı engellemiyor tabii ki! Söyleyin bakayım siz hiç wiki’de fractal, Benoit Mandelbrot, Mandelbrot set, Julia set, fractal art kelimelerini arattınız mı? Ben aradım buldum, üzerine söyleyecek sözüm yoktur hakim bey! Ben onlardan anlamam diyene Türkçesi de var! Üzerinde durduğumuz bu nokta tam da Scholz’un Mandelbrot’un kitabı hakkındaki yorumunu tekrarlamanın icap ettiği nokta oluyor: vay canına!*



Bu mesajı süsleyen fraktalların ilkinin sahibini hatırlamamakla birlikte pek beğendiğim için bir süredir arka plan olarak kullandığım the Avalanche, ikincisinin de Jos Leys’in 2006 Benoit Mandelbrot Fraktal Sanat Yarışması'nda dereceye giren eseri Indra Family ve üçüncüsünün de fi tarihinde kendi yaptığım Cin Ali olduğunu belirteyim. Hatta düşen çenemi kapatamayıp bu yarışmanın ICM’nin –International Congress of Matematicians (yani uluslar arası matematikçiler kongresi olur) sonuncusu 2006’da Madrit’te olmak üzere dört yılda bir gerçekleştirdiği kongresine bir güzellik katmak için ilk kez düzenlendiğini de ekleyeyim ve konuyla gayet ilgisiz bir soru sorayım:

İnternete Sunnyvale California’dan bağlanan ve buraları gün aşırı ziyaret eden sadık ve bir o kadar da gizemli okurumu bir yorum yazmaya yöneltmek için benden başka kimsenin merak etmediği başka hangi konular hakkında yazmam gerek acaba? İstatistiklerde görüyorum, merak ediyorum, kimdir, nedir, bu sadakatin sırrı nedendir diye… Gördüğün gibi burada kendimi bir şey zannetmek için epey çaba sarf ediyorum, meraktı interaktiviteydi ayağına topu sana attım, sen de bir el atıp yardımcı olursan sevinirim diyecektim :) Sessiz kalıp içinden işim olmaz dersen de canın sağolsun arkadaşım!




*Kaos, James Gleick, Tübitak Yayınları, 1995, sayfa 120:
Matematikçiler ve teorik fizikçiler Mandelbrot’un çalışmalarına ilgi göstermezken Scholz fraktal geometri araçlarını alıp hemen kullanmaya hazır olan tamamen pragmatik karakter yapısına sahip bir araştırıcıydı. Benoit Mandelbrot’un adını 1960’lı yıllarda, Mandelbrot’un daha iktisat alanında çalıştığı günlerde duyduğunda, Scholz da MIT’de lisansüstü düzeyinde öğrenciliğine devam ediyor ve vaktinin büyük kısmını depremlerle ilgili çok zorlu bir konuda harcıyordu. Büyük ve küçük depremlerin dağılımının özel bir matematik paternini takip ettiği, bunun da serbest piyasa şartlarının bulunduğu bir ekonomideki kişi başına gelirlerin dağılımına hükmeder görünen boyutsuzlaşma paterninin aynı olduğu yirmi yıldan beri artık gayet iyi anlaşılmış bulunuyordu. Yapılan gözlemler, bu dağılımın dünyada, depremlerin sayılıp ölçülebildiği her yerde bulunduğunu gösteriyordu. Depremlerin ne kadar düzensiz ve öngörülemez olduğu bir yana bırakılırsa ne türden fiziksel süreçlerin bu düzenliliği izah edebileceği sorusunu sormaya değerdi. Ya da Scholz’a öyle geliyordu. Sismologların birçoğu bu olguyu böylece kaydedip işlerine devam etmekten dolayı gayet mutluydular.

Scholz Mandelbrot’un adını hatırladı ve 1978’de bol resimli acayip ukala ve denklemlerle dolu bir kitap satın aldı. Kitabın adı Fractals: Form, Chance and Dimension (Fraktal- Şekil, Tesadüf ve Boyut) idi. Sanki Mandelbrot evren hakkında bildiği ya da şüphe ettiği ne varsa hepsini karman çorman edip bu tek ciltlik eserin içinde toplamıştı. Birkaç yıl sonra, hem bu kitap hem de bunun genişletilmiş ve gözden geçirilmiş şekli olan The Fractal Geometry of Nature (Doğanın Fraktal Geometrisi) yüksek matematik alanında şimdiye kadar hiçbir kitaba nasip olmayan bir satış rakamına ulaştı. Bu kitap üslup bakımından takibi zor ve okuyanda umutsuzluk yaratan bir eserdir, yer yer de esprili, edebi ve saydamsıztır. Mandelbrot da eserini ‘bir manifesto ve bir derleme’ olarak adlandırmıştır.

Başka bir, iki bilim dalında faaliyet gösteren, özellikle tabiatın malzeme bölümü üzerinde çalışan birkaç bilim adamı gibi Scholz da bu kitaptan nasıl yararlanacağını anlayabilmek için yıllarca düşünüp durdu. Hiçbir tarafında açıklık yoktu. Scholz, Fraktalar kitabından bahsederken, ‘Ne nasıl yapılır itabı değil bir vay canına kitabıdır’ diyordu…